Wavelety v akci

Wavelety jsou matematické funkce, které umožňují dělit data do různých frekvenčních složek a poté studovat každou ...


Wavelety jsou matematické funkce, které umožňují dělit data do různých
frekvenčních složek a poté studovat každou složku s rozlišením odpovídajícím
její celkové velikosti. Wavelety jsou používány v oblasti počítačového
zobrazování a animace při redukci šumu a kompresi dat.

V řadě oborů, počínaje vědou nebo strojírenstvím a konče ekonomií či
psychologií, potřebujeme analyzovat data, abychom v nich mohli odhalit skryté
zákonitosti a ne zcela zřejmé informace. Obvykle se postupuje tak, že jsou data
transformována pomocí matematických funkcí.
Jedním z nejznámějších postupů je Fourierova analýza, s jejíž pomocí můžete
aproximovat tok reálných dat složením sinových a cosinových křivek o různých
frekvencích. Čím více křivek do transformace zahrnete, tím přesněji můžete data
replikovat. Protože je známo, jak s takovými přesně definovanými
trigonometrickými křivkami pracovat, lze z dat často vyvodit principy, které by
v nich jinak zůstaly skryty.
Fourierova analýza má ale svá omezení. Nejlépe funguje tehdy, pokud mají původní
data periodické vlastnosti, a na potíže narazíme u přechodových signálů nebo u
dat, která reflektují náhlé změny, jako je třeba signál mluvené řeči. Často pak
potřebujeme změnit analytickou reprezentaci podle aktuálních dat, abychom mohli
v určitém datovém toku rozeznat více detailů. V podstatě potřebujeme způsob, jak
měnit měřítko v různých bodech a práce s měřítkem, to je doména waveletů.

Představa o velikosti
Pro lepší pochopení funkce waveletů si vypomůžeme vysvětlením, které vychází z
článku Dana Mackenzie: Wavelets: Seeing the Forest and the Trees (Wavelety
způsob, jak vidět les i stromy), jež mimochodem velmi doporučujeme vaší
pozornosti (www.beyonddiscovery.org/content/view. txt.asp?a=1952). Zkuste si
uvědomit, jak vnímáte krajinu. Když se podíváte v létě dolů z tryskového
letadla, vypadá les jako souvislá plocha zeleně. Pokud jste v autě, které lesem
projíždí, uvidíte ovšem jednotlivé stromy. Jakmile se zastavíte a přiblížíte se,
budete moci rozeznat jednotlivé větve a listy. Ještě blíže budete moci vnímat
kapičky rosy nebo hmyz, sedící na listě. Přes zvětšovací sklo lze vidět detaily
struktury listu a jeho žilky.
Když se blížíte k objektu, váš pohled se zužuje a vy vidíte stále jemnější
podrobnosti. Jinými slovy: Jak se váš pohled zužuje, vaše rozlišení roste.
Těmto změnám perspektivy se vaše oči dokáží rychle přizpůsobit a z makroměřítka
přecházejí na mikroměřítko. Bohužel však tuto techniku nedokážeme aplikovat na
fotografii ani na digitální počítačové zobrazení.
Když zvětšíte obrázek lesa (jako byste popojeli blíže ke stromu), dostanete jen
rozmazaný obraz. Pořád ještě nebudete schopni rozeznat větev, list nebo kapku
rosy. Bez ohledu na to, co se vám pokoušejí namluvit některé filmy, žádné
zaostřování nebo jiné zpracování obrazu vám nepomůže, abyste uviděli detail,
který do obrazu nebyl zakódován. Nemůžete vidět nic menšího než pixel obrazový
bod a kamera nebo fotoaparát vám mohou poskytovat v určitém okamžiku jen jediné
rozlišení.
Algoritmy využívající waveletů umožňují zaznamenat nebo zpracovat rozličné
oblasti scény na různých úrovních detailu (rozlišení) a využívají větší
komprese. V zásadě tedy dovolují dělat fotografie tak, jako byste byli k
zabírané scéně blíže. Když se podíváte na souhrnná data (nebo, chcete-li, na
signál) ze širší perspektivy, povšimnete si obecnějších rysů. Pokud použijete
bližší perspektivu, budete moci pozorovat podrobnější rysy.
Úvod do světa vlnek Na rozdíl od sinusových, nekonečně se opakujících vln
Fourierovy analýzy jsou wavelety často nepravidelné a asymetrické; pokud se
dostanete daleko od ústředního bodu, nabývají hodnot blízkých nule. Při
dekompozici datového toku do waveletů bývá často možné uchovat, a dokonce
zdůraznit specifické lokální vlastnosti signálu a informaci o jeho časovém
rozložení.
Wavelety mohou nabývat obecně jakéhokoliv tvaru a většina jejich aplikací je
založena na příslušných funkcích, které jsou vhodné pro určitý typ dat, jenž se
má zpracovat.
První waveletovou funkcí byla jednoduchá kvadratická forma, kterou navrhnul
matematik Alfred Harr už někdy začátkem 20. století. Avšak skutečný rozvoj
tohoto oboru začal uprostřed 80. let, kdy Jean Morlet, inženýr jedné francouzské
ropné společnosti, vyvinul analytické postupy založené na transformaci waveletů,
aby interpretoval seizmická data. Poté se spojil s fyzikem Alexem Grossmannem a
spolu formalizovali matematický aparát.

V grafice
Wavelety nezůstaly jen u svých původních geofyzikálních aplikací a používají se
dnes pro řadu účelů, zejména pak v oblasti digitálního zobrazování a komprese.
V závislosti na tom, jaké detaily a jakou přesnost jste ochotni na digitálním
obraze oželet, jsou k omezení jeho velikosti využívány různé druhy komprese.
Komprese na bázi waveletů může být daleko efektivnější než starší metody.
Wavelety také zpřístupňují neuvěřitelně jemné detaily a struktury, přičemž
velikosti souborů a časy zpracování zůstávají ještě rozumné. Důsledkem jejich
použití je například realistické zobrazení vlasů v animovaném filmu Příšerky, s.
r. o.
Wavelety jsou základem mnoha norem pro obrazovou kompresi včetně normy JPEG-2000
pro barevné obrazy nebo WSQ (Wavelet Scalar Quantization), což je algoritmus pro
kompresi černobílých otisků prstů, který používá FBI už od roku 1993 k archivaci
své databáze otisků prstů.
Komprese na bázi waveletů podle normy digitálního videa MPEG-4 nabízí lepší
kvalitu videosignálu než JPEG, i když vytváří soubory, jejichž velikost je
výrazně menší. MPEG-4 má také několik kvalitativních úrovní a umožňuje serverům
dynamicky nastavit svůj výstup podle potřebné šířky pásma.
Wavelety jsou rovněž používány pro redukci šumu a v technikách prohledávání
obrazu. Vědci je pak využívají také jako součást různých metod lékařské
diagnostiky, uplatnění nacházejí i v předpovědi počasí.









Komentáře
K tomuto článku není připojena žádná diskuze, nebo byla zakázána.